误差的合成与分配
1、函数系统误差计算
y=f(x1,x2,...,xn)y=f(x_1,x_2,...,x_n)y=f(x1,x2,...,xn)其中x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1,x2,...,xn为各个直接测量值；yyy为间接测量值
函数系统误差△y\bigtriangleup y△y为△y=∂f∂x1△x1+∂f∂x2△x2+...+∂f∂xn△xn,i=1,2,...,n\bigtriangleup y=\frac{\partial f}{\partial x_1}\bigtriangleup x_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\bigtriangleup x_2+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}\bigtriangleup x_n, i=1,2,...,n△y=∂x1∂f△x1+∂x2∂f△x2+...+∂xn∂f△xn,i=1,2,...,n
2、函数随机误差计算
σy2=(∂f∂x1)2σx12+(∂f∂x2)2σx22+...(∂f∂xn)2σxn2+2∑1≤i 3、误差间的相关关系和相关系数 定义相关系数ρ=Kξησξση\rho=\frac{K_{\xi\eta}}{\sigma_\xi\sigma_\eta}ρ=σξσηKξη其中KξηK_{\xi\eta}Kξη为误差ξ\xiξ和η\etaη之间的协方差；σξ,ση\sigma_{\xi},\sigma_{\eta}σξ,ση分别为误差ξ\xiξ和η\etaη的标准差（-1≤ρ≤\le\rho\le≤ρ≤+1) 0<ρ\rhoρ<1时，ξ\xiξ与η\etaη正相关，即一误差增大，零一误差取值平均的增大-1<ρ\rhoρ<0时，ξ\xiξ与η\etaη负相关ρ=±1\rho=\pm 1ρ=±1时，完全正/负相关，此时ξ\xiξ与η\etaη之间存在着确定的线性函数关系ρ\rhoρ=0，两误差间无线性关系或称不相关 4、随机误差的合成 （1）标准差的合成 σ=∑i=1q(aiσi)2+2∑1≤i （2）极限误差的合成 一般的极限误差合成公式δ=±t∑i=1q(aiδiti)2+2∑1≤i 若各个单项随机误差均服从正态分布，则δ=±∑i=1q(aiδiti)2+2∑1≤i 5、系统误差的合成 （1）已定系统误差的合成 △=∑i=1rai△i\bigtriangleup=\sum_{i=1}^{r}a_i\bigtriangleup_i△=i=1∑rai△i其中该测量过程共rrr个单项一定系差，△i\bigtriangleup_i△i为误差值，aia_iai为相应的误差传递函数 （2）未定系统误差的合成 标准差的合成 若测量过程中有sss个单项未定系统误差，其标准差为uiu_iui，其相应的误差传递函数为aia_iai，则合成后未定系差的总标准差为u=∑i=1q(aiui)2+2∑1≤i 极限误差的合成 单项未定系差的极限误差为ei=±tiui,i=1,2,...,se_i=\pm t_iu_i, i=1,2,...,sei=±tiui,i=1,2,...,s总的未定系差的极限误差为e=±tue=\pm tue=±tu则可得e=±t∑i=1q(aiui)2+2∑1≤i 6、系统误差与随机误差的合成 （1）按极限误差合成 若测量过程中有rrr个单项已定系差，sss个单项未定系差，qqq个单项随机误差，他们的误差值或极限误差分别为△1,△2,...,△r\bigtriangleup_1,\bigtriangleup _2,...,\bigtriangleup _r△1,△2,...,△re1,e2,...,ese_1,e_2,...,e_se1,e2,...,esδ1,δ2,...,δq\delta_1,\delta _2,...,\delta _qδ1,δ2,...,δq设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的极限误差为△总=∑i=1r△i±t∑i=1s(eiti)2+∑i=1q(δiti)2+R\bigtriangleup_总=\sum_{i=1}^{r}\bigtriangleup_i\pm t\sqrt{\sum_{i=1}^{s}(\frac{e_i}{t_i})^2+\sum_{i=1}^{q}(\frac{\delta_i}{t_i})^2+R}△总=i=1∑r△i±ti=1∑s(tiei)2+i=1∑q(tiδi)2+R其中RRR为各个误差间协方差之和 已定系差修正后△总=∑i=1sei2+∑i=1qδi2（单次测量）\bigtriangleup_总=\sqrt{\sum_{i=1}^{s}{e_i}^2+\sum_{i=1}^{q}{\delta_i}^2}（单次测量）△总=i=1∑sei2+i=1∑qδi2（单次测量）△总=∑i=1sei2+1n∑i=1qδi2（多次重复测量）\bigtriangleup_总=\sqrt{\sum_{i=1}^{s}{e_i}^2+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{q}{\delta_i}^2}（多次重复测量）△总=i=1∑sei2+n1i=1∑qδi2（多次重复测量） （2）按标准差合成 若测量过程中有sss个单项未定系差，qqq个单项随机误差，其标准差为u1,u2,...,usu_1,u_2,...,u_su1,u2,...,usσ1,σ2,...,σq\sigma_1,\sigma _2,...,\sigma _qσ1,σ2,...,σq设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的标准差为σ=∑i=1sui2+∑i=1qσi2+R\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^su_i^2+\sum_{i=1}^q\sigma_i^2+R}σ=i=1∑sui2+i=1∑qσi2+R其中，RRR为各个误差间协方差之和。各个误差间互不相关时σ=∑i=1sui2+∑i=1qσi2（单次测量）\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^su_i^2+\sum_{i=1}^q\sigma_i^2}（单次测量）σ=i=1∑sui2+i=1∑qσi2（单次测量）σ=∑i=1sui2+1n∑i=1qσi2（多次重复测量）\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^su_i^2+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^q\sigma_i^2}（多次重复测量）σ=i=1∑sui2+n1i=1∑qσi2（多次重复测量） 7、微小误差的取舍准则 对于随机误差和未定系差，微小误差舍入准则：被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准的1/3~1/10 1/3：一般精度测量1/10：较精密的测量